Un historia muy interesante la de Perelman, pero el teorema es algo complicado de entender y algo mas de enunciar. As? que paso a copiar todo un articulo completo de tiopetrus.blogia.com que me pareci? muy explicativo. Si sabes poco o nada de matem?tica lo puedes entender. Los que hemos llevado Analisis Real (y los que hemos desaprobado tambi?n) podremos entenderlo con algo m?s de claridad, as? que ah? va:
Como ya dijimos en alguna ocasi?n una conjetura es un teorema al que le falta la parte m?s interesante: la demostraci?n. Dicho de otro modo: una conjetura nada tiene que ver con un teorema; es una simple afirmaci?n. Aunque a veces se pervierta la nomenclatura, como en el caso del ??ltimo teorema de Fermat?, que no tuvo tal rango hasta que Wiles lo demostr? hace pocos a?os.
Visto as?, parece que una conjetura tiene poco valor, y es poco m?s que una opini?n. As? es en parte, de hecho muchas conjeturas resultaron falsas a la postre. Sin embargo normalmente tienen el valor de ser agudas observaciones realizadas por especialistas, retos lanzados al mundo para que las mejores mentes del planeta se esfuercen en desentra?ar sus misterios. As? ocurre con una de las m?s famosas: la Conjetura de Poincar?.
Pasamos a explicar en qu? consiste la conjetura, tan de moda ?ltimamente a ra?z de la demostraci?n (pendiente de refrendar por lo que yo s?, pero probablemente correcta) del matem?tico ruso Grigory Perelman.
La Conjetura de Poincar? es una afirmaci?n topol?gica. Una vez explicamos aqu? que la topolog?a tiene un estatus muy especial dentro de la matem?tica. Supondremos que el lector sabe qu? estudia la topolog?a por tanto.
A veces, los matem?ticos tienen algo de naturalistas; tax?nomos m?s concretamente. Les gusta clasificar cosas y ponerles etiquetas. Este gusto es totalmente l?gico; para clasificar atendemos a las propiedades m?s esenciales de las cosas e investigamos la diversidad de las mismas. El procedimiento b?sico suele ser el siguiente: se establecen relaciones de equivalencia entre los objetos; no relaciones cualesquiera, sino relaciones que se consideran relaciones importantes precisamente porque atienden a propiedades que consideramos esenciales de las mismas. Dichas relaciones inducen clases de equivalencia dentro de las cuales todos los objetos est?n ?emparentados?, y estudiamos el conjunto cociente de clases obtenido. Ese es el esquema esencial de clasificaci?n en matem?ticas, si bien su aplicaci?n pr?ctica puede variar, y as? se han establecido clasificaciones para los grupos simples finitos, para las superficies en Rn , las formas cuadr?ticas, los grupos de Lie, etc, etc.
La relaci?n m?s habitual que se emplea en topolog?a es la relaci?n ?ser homeomorfo? . Pocas veces se ha escondido detr?s de una palabra tan fea un concepto tan bello. Dado un espacio de trabajo X, dos objetos A y B de dicho espacio (dos subconjuntos de ?puntos? de X) son homeomorfos si pueden transformarse el uno en el otro mediante una transformaci?n continua especial llamada homeomorfismo. Diremos que una aplicaci?n de A a B es un homeomorfismo si es biyectiva, continua e inversible, siendo su inversa igualmente continua. Dado que si A y B son homeomorfos, entonces para un top?logo ?son? esencialmente el mismo objeto, se comprende la importancia de la clasificaci?n atendiendo a tal concepto.
Pues bien; la capacidad simplificatoria de este procedimiento es impresionante: al tratar a todos los objetos de cada clase como uno s?lo (su representante can?nico), obtenemos un panorama mucho m?s racional del universo que estamos estudiando. Es de esperar (de hecho, est? asegurado) que todos los objetos de una misma clase de homeomorfia exhiban las mismas propiedades topol?gicas.
El problema es que lo que vale para un espacio topol?gico no tiene porqu? valer para otro. Dado que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de siete, cabe esperar que ciertas cosas (cosas topol?gicas, enti?ndanme) que ocurran en un universo de tres dimensiones no ocurrir?n o al menos no tienen porqu? ocurrir en otro de siete, y viceversa. Y aqu? est? el quid de la cuesti?n en lo que a la Conjetura de Poincar? se refiere.
Pero vayamos con calma.
Consideremos una esfera. Es muy importante explicar que entendemos que una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, llamado centro. Esto viene a cuento porque con esta definici?n una esfera es una superficie. No una bola maciza sino la superficie que la delimita. Esto es b?sico para entender lo que sigue. Para dejar m?s claro el asunto, la llamaremos 2-esfera por ser un objeto bidimensional, aunque est? inmerso en un espacio de tres dimensiones.
Todo objeto homeomorfo (topol?gicamente equivalente) a una esfera tendr? las mismas propiedades topol?gicas que una esfera; esto es una perogrullada. Lo que no lo es es preguntarse si una determinada colecci?n de propiedades de la esfera es una caracterizaci?n topol?gica de la misma. Esto no es nada trivial. Y de eso va la conjetura.
Una caracterizaci?n es un conjunto de propiedades que definen sin ambig?edad un objeto. Tres propiedades topol?gicas son importantes en una esfera:
1.- Es compacta
2.- Es orientable
3.- Es simplemente conexa
Hace mucho tiempo que qued? claro que este conjunto de tres propiedades es una caracterizaci?n de una 2-esfera, pero ?qu? ocurre en dimensiones superiores?
Una 3-esfera NO ES una esfera maciza, como alguno podr?a pensar. Una 3-esfera es una variedad diferenciable de tres dimensiones, que podemos definir como el conjunto de los 4-puntos de R4 que equidistan de uno dado (centro). Es una 3-variedad inmersa en un espacio de 4 dimensiones, por tanto.
Pues bien; ?sigue siendo el conjunto de las tres propiedades una caracterizaci?n de las 3-esferas?
La Conjetura de Poincar? afirma que para cualquier n?mero de dimensiones el conjunto de las tres propiedades es en efecto una caracterizaci?n de las n-esferas.
Y eso es lo que ha debido conseguir el bueno de Grigory Perelman.
